《高等数学》教学大纲(本科)

使用范围:公共事业管理专业(专升本)、工商管理专业(专升本)

 

高等数学是高等院校大部分专业的一门重要基础理论课,是深入学习专业课程的必备基础. 培养学生的科学精神和科学素养。 随着数学在各学科中的应用日益广泛,无论将来从事科研工作还是教学工作,都应该具备良好的数学基础和灵活应用数学的能力.本课程主要学习一元函数和多元函数的微积分学,以及无穷级数和常微分方程的主要内容,是将来进一步学习专业知识的必备的数学基础。

学习方法1.注重理解,在理解的基础上熟记基本概念、基本公式、基本定理。

2.通过典型例题加深对概念、性质、定理的理解。

3.必须熟记基本初等函数的导数公式及基本积分公式。

4.强调基本概念的理解,而不注重概念的抽象性;

5.强调基本理论的实际应用,而不强调理论的证明技巧;

6.强调基本计算方法的运用,而不追求运算的技巧。

第一章 函 

[教学目的和要求]

1.理解邻域及空心邻域的概念及表示方法。

2.理解函数的概念,会求函数的定义域,值域,能判定两个函数是否相同。

3.掌握函数的三种表示法。

4.理解分段函数的定义。

5.掌握函数的基本性质:奇偶性,周期性,单调性,有界性。

6.会用奇偶性的定义判定函数的奇偶性,会用单调性定义判定函数的单调性。

7.了解反函数的定义,会求某些函数的反函数。

8.理解复合函数的概念,会把复合函数分解为简单函数。

9.掌握基本初等函数的定义,掌握六种基本初等函数的表达式,基本性质,图形,定义域,值域。

10.掌握初等函数的定义。

[教学基本内容]

§1.1  实数与数轴

实数分为有理数和无理数

全体实数和数轴上的全体点一一对应。

§1.2 实数的绝对值及其基本性质

x│的定义和几何意义

§1.3 区间与邻域

一、区间

有限区间:⑴开区间,⑵闭区间,⑶半开半闭区间, 

无限区间:⑷ 右端无限,⑸ 左端无限,⑹ 两端无限  

全体实数集合:(-∞,+∞)={x│-∞<x<+∞}

区间的长。

二、邻域

邻域,邻域的中心,邻域的半径。空心邻域。

§1.4  函数及其表示方法

一、函数定义

常量,变量,函数的定义,定义域,值域

定义域和对应规则是确定函数关系的两个要素。

二、函数表示法

函数的表示法有三种:列表法,图形法和公式法(解析法)。分段函数

§1.5 函数的基本性质

函数的基本性质有:奇偶性,周期性,单调性,有界性。

§1.6 反函数、复合函数

一、反函数

在同一坐标系中,y=f(x)与y=-1(x)的图像关于直线y=x对称

二、复合函数

§1.7 初等函数

一、基本初等函数

常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数

二、初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所得到的函数称为初等函数。

 

第二章 极限与连续

[教学目的和要求]

1.理解数列极限的定义。

2.掌握数列极限四则运算法则和基本性质,会求数列极限。

3.理解函数极限定义,会求函数极限。掌握左极限和右极限的定义,极限与左右极限的关系,会判定分段函数在分段点极限存在与否。

4.掌握函数极限的基本性质及四则运算法则。

5.掌握无穷大与无穷小的定义与关系。

6.掌握无穷小的性质。

7.掌握无穷小量阶的比较。

8.理解极限存在的两个准则。

9.熟记两个重要极限,能运用它们来计算相关极限。

10.掌握连续的概念及连续的表示方法。

11.能判定函数在某一点是否连续。

12.理解左右连续的定义,能判定分段函数在分段点是否连续。

13.理解函数在开区间及闭区间上连续的定义。

14.掌握连续函数的性质。

15.掌握间断点的定义,会求函数间断点。

16.理解闭区间上连续函数的基本性质。

[教学基本内容]

§2.1 数列的极限

数列定义。数列收敛发散的定义。数列极限四则运算法则

数列极限的基本性质:1.唯一性2.有界性3.常数列的极限是它本身。

§2.2 函数极限

x→∞时,函数(x)的极限;xx0时,(x)的极限

左右极限定义。函数(x)在点x0处极限存在充分必要条件是在该点的左右极限都存在,并且相等。函数极限的性质:1.唯一性2.有界性3.局部保号性.极限四则运算法则。

§2.3  无穷大量与无穷小量

无穷大量,无穷小量定义,无穷大量与无穷小量的关系,无穷小量的性质,无穷小量的阶(高阶,低阶,同阶,等价)

§2.4  两个重要极限

一、极限存在的准则(夹挤法,单调有界原理)

二、两个重要极限

11      2e    e 

§2.5  连续函数

增量定义,连续的概念,函数在一点处连续的三层含义,左右连续定义,连续函数的性质,间断点定义和类型。

§2.6 闭区间上连续函数的基本性质

1.有界性  2. 最大值,最小值定理  3.介值定理  4.  根的存在性

第三章 导数与微分

[教学目的和要求]

1.掌握导数定义及表示方法,会用导数定义求导数。

2.了解导数的几何意义。

3.理解导函数定义及表示方法。

4.掌握左右导数的定义及函数在闭区间上可导的定义,会判定分段函数在分段点是否可导。

5.掌握可导与连续的关系。

6.熟记基本初等函数的导数公式及导数四则运算法则。

7.掌握复合函数的求导方法。

8.掌握隐函数求导方法及对数求导法。

9.理解高阶导数的定义,会求高阶导数。

10.掌握微分的定义及表示方法,微分与导数的关系。

11.掌握基本初等函数的微分公式及微分的四则运算法则,会求微分。

12.了解一阶微分的形式不变性。

[教学基本内容]

§3.1 引入导数概念的例题(了解)

一、由平均速度求瞬时速度

二、由割线斜率求切线斜率

§3.2 导数的概念

导数定义,用导数定义求导数,导数的几何意义,物理意义,左右导数,可导与连续的关系

§3.3 基本初等函数的导数公式

导数的四则运算法则

§3.4  复合函数、反函数、隐函数的导数

一、复合函数的导数:复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数。y[(x)],其中u= (x),·

二、反函数的导数(了解)

y(x) 的反函数是x

三、隐函数的导数

四、取对数求导法

(一)基本初等函数的导数公式(熟记)

10          

2=α

3  (a0a1)   

4  (a0a1)  

5cosx      

6=-sinx

7      

8=-

9 

10=-

11   (-1x1) 

12=-  (-1x1

1314=-

(二)求导法则(熟记)

1±   

2  C

3 (v0)    (v0

4  其中y(u) u

5  (0) (了解)

§3.5 高阶导数

sinxn),cosxn

§3.6微分

(一)   微分的定义,(由导数基本公式可求出微分基本公式

微分基本公式(熟记)

1dC0        

2d()=αdx

3d()dx  (a0a1 

4d(lnx) dx

5d() lnadx   (a0a1  

6d() dx

7d(sinx) cosxdx           

8d(cosx) =-sinxdx

9d(tgx) dx 

10d(ctgx) =-=-dx

11d(secx) secx·tgxdx    

12d(cscx) =-cscx·ctgxdx

13d(arcsinx)  (1x1)

14d(arccosx) =- (1x1)

15d(arctgx) dx        

16d(arcctgx) =-dx

(二)微分的运算法则

1d(u±v)du±dv             

2d(uv) udvvdu

3d(Cv) Cdv                

4d() (v0)

5d()=-dv

(三)一阶微分的形式不变性

第四章 中值定理与导数应用

[教学目的和要求]

1.掌握罗尔定理,拉格朗日定理的内容及几何意义,了解柯西定理,掌握三个定理之间的关系。

2.掌握拉格朗日定理的两个推论。

3.会验证某函数是否满足某中值定理。

4.能熟练应用罗必达法则求函数极限。

5.能熟练应用导数判定函数单调性。

6.掌握极值的定义,能熟练应用导数求函数的极值。

7.会求函数的最大最小值。

8.掌握曲线凸凹性及拐点的定义,能熟练应用导数来判定凸凹性及拐点。

9.会求曲线的渐近线。

10.了解函数作图。

[教学基本内容]

§4.1 中值定理

罗尔定理,罗尔定理的几何意义;

拉格朗日定理,拉格朗日定理的几何意义,

推论1,推论2,柯西中值定理

§4.2 未定式的定值法

一、型未定式(罗必达法则Ⅰ)

二、型未定式(罗必达法则Ⅱ)

0·∞型,∞—∞型 未定式可化为型或

0°,,∞°型未定式可先取对数

§4.3 函数的单调性

§4.4  函数的极值

一、函数的极植  极大值(或极小值)

二、极值的判定与求法

三、驻点,极值存在的必要条件,极值存在的充分条件Ⅰ,极值存在的充分条件Ⅱ

四、函数的最大值和最小值

§4.5 曲线的凸凹性、拐点和渐近线

曲线的凸凹性及拐点,曲线的渐近线1.水平渐近线2.垂直渐近线3.斜渐近线

§4.6 函数作图

第五章 不定积分

[教学目的和要求]

1.掌握原函数及不定积分的定义,不定积分的表示方法。

2.了解不定积分的几何意义。

3.掌握不定积分的基本性质。

4.熟记基本积分公式。

5.能准确计算不定积分

 

[教学基本内容]

§5.1 原函数与不定积分

原函数,不定积分定义,不定积分的几何意义

§5.2 不定积分的性质        

基本积分公式(熟记)

1C   C为常数)

2xC

3  a≠-1

4  a0a1

5

6

7

8=-  

9        

10

    =-     

11        

12lnC

§5.4 不定积分的计算

直接积分法,换元积分法:第一类换元法(凑微分法),第二类换元法

§5.5 分部积分法

第六章 定

[教学目的和要求]

1.掌握定积分的定义及表示方法,了解定积分的几何意义。

2.掌握定积分的基本性质。

3.会求函数在区间上的平均值。

4.掌握定积分与不定积分的关系。

5.掌握原函数存在定理。

6.会求变限积分的导数。

7.能应用换元法,分部积分法等方法准确计算定积分。

8.会利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。

9.掌握广义积分的定义,能判定广义积分的敛散性。

10.了解Г函数的定义,基本性质及简单计算。

[教学基本内容]

§6.1  定积分的概念

一、引出定积分概念的例题

1.求曲边梯形的面积 

2.变速直线运动的距离

二.定积分的定义,定积分的几何意义

§6.2  定积分的基本性质

§6.3  定积分与不定积分的关系   

原函数存在定理

§6.4  定积分的计算

一、定积分的换元积分法

二、定积分的分部积分法

§6.5  定积分的应用

一、求平面图形的面积

二、求立体的体积

1.已知平行截面面积求体积(了解)

2.旋转体的体积

Vx=π Vy=π

§6.6广义积分与Г函数

广义积分定义,收敛,发散定义1.无限区间上的广义积分2.无界函数的广义积分,Г函数定义,性质

第七章 多元函数

[教学目的和要求]

1.了解空间直角坐标系。

2.理解二元函数的定义,会求二元函数的定义域。

3.了解二元函数的极限及连续的定义,二元连续函数在闭区间上的基本性质。

4.掌握一阶,二阶偏导数的定义及计算。

5.掌握全微分的定义及计算方法。

6.掌握多元复合函数的求导方法。

7.掌握隐函数微分法。

8.掌握二元函数极值的定义及计算。

9.掌握二重积分的定义及基本性质,了解二重积分的几何意义

10.掌握直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算。

[教学基本内容]

§7.1 空间解析几何

一、空间直角坐标系

二、空间任意两点间的距离

§7.2 多元函数

一、多元函数的定义

二、二元函数的定义域

§7.3 二元函数的极限与连续

§7.4 偏导数

增量,一阶偏导数,二阶偏导数

§7.5 全微分

§7.6 多元复合函数的求导法则

§7.7 隐函数微分法

§7.8 二元函数的极值

§7.9 二重积分

二重积分定义,性质,计算

第八章 微分方程与差分方程

[教学目的和要求]

1.掌握微分方程,方程的阶数,通解,特解的概念。

2.掌握一阶微分方程的解法。

3.掌握几种二阶微分方程的解法。

4.掌握差分的概念及计算。

5.了解差分方程的相关概念。

[教学基本内容]

§8.1 微分方程的一般概念

§8.2 一阶微分方程

一、变量可分离的一阶微分方程

二、齐次方程

三、一阶线性非齐次微分方程

§8.3  几种二阶微分方程

一、最简单的二阶微分方程

二、不显含y的二阶微分方程

三、不显含自变量x的二阶微分方程

§8.4 二阶常系数线性微分方程

§8.5 差分方程的一般概念

第九章 无穷级数

[教学目的和要求]

1.掌握无穷级数的概念,表示方法及敛散性的定义。

2.掌握无穷级数的基本性质。

3.掌握正项级数的定义及敛散性判别法。

4.掌握交错级数敛散性判别法。

5.能判定级数是绝对收敛还是条件收敛。

6.掌握幂级数的定义,会计算幂级数的收敛区间。

7.掌握幂级数和函数的计算方法。

8.了解泰勒级数的计算方法。

9.了解函数马克劳林展开式的计算方法。

[教学基本内容]

§9.1 无穷级数的概念

§9.2 无穷级数的基本性质

§9.3 正项级数

§9.4 任意项级数,绝对收敛

§9.5 幂级数

§9.6 泰勒级数

 

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